Question

（12分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是x=2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：=+2，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，

问：是否存在定点F，使得|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）+=1（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 由题意得 =，==2，解出a、b 的值，即得椭圆的标准方程．

（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）． 由向量间的关系得到 x=x1+2x2，y=y1+2y2，据

M、N是椭圆上的点可得 x2+2y2=20+4（x1x2+2y1y2 ）．再根据直线OM与ON的斜率之积为﹣，得到点P是椭圆

x2+2y2=20 上的点，根据椭圆的第二定义，存在点F（，0），满足条件．

【解析】
（Ⅰ） 由题意得 =，==2，∴a=2，b=，

故椭圆的标准方程为 +=1．

（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）．∵动点P满足：=+2，

∴（x，y）=（x1+2x2，y1+2y2 ），∴x=x1+2x2，y=y1+2y2，

∵M、N是椭圆上的点，∴x12+2y12﹣4=0，x22+2y22﹣4=0．

∴x2+2y2=（x1+2x2）2+2 （y1+2y2）2=（x12+2y12 ）+4（x22+2y22 ）+4（x1x2+2y1y2 ）

=4+4×4+4（x1x2+2y1y2 ）=20+4（x1x2+2y1y2 ）．

∵直线OM与ON的斜率之积为﹣，∴•=﹣，∴x2+2y2=20，

故点P是椭圆 =1 上的点，焦点F（，0），准线l：x=2，离心率为，

根据椭圆的第二定义，|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值，

故存在点F（，0），满足|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值．