Question

（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是          ．

B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=          ．

C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C₁： （θ为参数）和曲线C₂：p=1上，则|AB|的最小值为          ．

Answer

（﹣∞，3] 2 1

【解析】

试题分析：A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；

B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；

C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．

【解析】
A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．

故设函数y=|x+1|+|x﹣2|． 设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．

则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．

可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．

即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．

即：k≤3．

故答案为：（﹣∞，3]．

B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°

∴Rt△ABE∽Rt△ADC

而AB=6，AC=4，AD=12，

根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，

故答案为：2

C． 消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1

而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上

则|AB|的最小值为1．

故答案为：1