Question

（12分）（2011•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）翻折后，直线AD与直线DC、DB都垂直，可得直线与平面BDC垂直，再结合AD是平面ADB内的直线，可得平面ADB与平面垂直；

（Ⅱ）根据图形特征可得△ADB、△DBC、△ADC是全等的等腰直角三角形，△ABC是等边三角形，利用三角形面积公式可得三棱锥D﹣ABC的表面积．

【解析】
（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，

∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，

又DB∩DC=D，

∴AD⊥平面BDC，

∵AD⊂平面ABD．

∴平面ADB⊥平面BDC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，

∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，

从而

所以三棱锥D﹣ABC的表面积为：