Question

（12分）（2011•陕西）设椭圆C：过点（0，4），离心率为

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意，将（0，4）代入C的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为，结合椭圆的性质，可得=；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程．

（Ⅱ）根据题意，可得直线的方程，设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x2﹣3x﹣8=0，解可得x1与x2的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案．

【解析】
（Ⅰ）根据题意，椭圆过点（0，4），

将（0，4）代入C的方程得，即b=4

又得=；

即，∴a=5

∴C的方程为

（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，

设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线方程代入C的方程，得，

即x2﹣3x﹣8=0，解得，，

∴AB的中点坐标，

，

即中点为．