Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C。

（1）求C的方程；

（2）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

Answer

（1）y=x-2.

（2）2

【解析】（1）设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).

所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).

再由题意可知（+）• =0, 即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.

所以曲线C的方程式为y=x-2.

（2）设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x

因此直线的方程为，即。

则o点到的距离.又，所以

当=0时取等号，所以o点到距离的最小值为2.