Question

（2011•浙江）已知抛物线C₁：x²=y，圆C₂：x²+（y﹣4）²=1的圆心为点M

（1）求点M到抛物线C₁的准线的距离；

（2）已知点P是抛物线C₁上一点（异于原点），过点P作圆C₂的两条切线，交抛物线C₁于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．

Answer

（1） （2）

【解析】（1）由题意画出简图为：

由于抛物线C1：x2=y准线方程为：y=﹣，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心M（0，4），

利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．

（2）设点P（x0，x02），A（x1，x12），B（x2，x22）；

由题意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，

设过点P的圆c2的切线方程为：y﹣x02=k（x﹣x0）即y=kx﹣kx0+x02①

则，即（x02﹣1）k2+2x0（4﹣x02）k+（x02﹣4）2﹣1=0

设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两个根，

∴，；

代入①得：x2﹣kx+kx0﹣x02=0 则x1，x2应为此方程的两个根，

故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0

∴kAB=x1+x2=k1+k2﹣2x0=

由于MP⊥AB，∴kAB•KMP=﹣1⇒

故P∴．