Question

（2011•浙江）设函数f（x）=（x﹣a）²lnx，a∈R

（1）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；

（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立．

注：e为自然对数的底数．

Answer

（1）a=e，或a=3e （2）

【解析】（1）求导得f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），

因为x=e是f（x）的极值点，

所以f′（e）=0

解得a=e或a=3e．

经检验，a=e或a=3e符合题意，

所以a=e，或a=3e

（2）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e2成立

②当1＜x≤3e时，，由题意，首先有f（3e）=（3e﹣a）2ln3e≤4e2，

解得

由（1）知f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），

令h（x）=2lnx+1﹣，则h（1）=1﹣a＜0，

h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1﹣≥2ln3e+1﹣=2（ln3e﹣）＞0

又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x0

则1＜x0＜3e，1＜x0＜a，从而，当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，

当x∈（x0，a）时，f′（x）＜0，

当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x0）内是增函数，

在（x0，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数

所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立只要有

有h（x0）=2lnx0+1﹣=0得a=2x0lnx0+x0，将它代入得4x02ln3x0≤4e2

又x0＞1，注意到函数4x2ln3x在（1，+∞）上是增函数故1＜x0≤e

再由a=2x0lnx0+x0，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e

由f（3e）=（3e﹣a）2ln3e≤4e2解得，

所以得

综上，a的取值范围为