Question

如图，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。

（1）求，的方程；

（2）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.

①证明：；

②记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。

Answer

（1）

（2）①见解析 ②满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和

【解析】（1）由题意知，从而，又，解得。

故，的方程分别为。

（2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.

由得，

设，则是上述方程的两个实根，于是。

又点的坐标为，所以

故，即。

②设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为

又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.

于是

由得，

解得或，则点的坐标为；

又直线的斜率为，同理可得点的坐标

于是

因此

由题意知，解得 或。

又由点的坐标可知，，所以

故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。