Question

已知函数() =，g ()=+。

（1）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；

（2）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .

Answer

（1）两个零点，理由见解析 （2）见解析

【解析】（1）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点

解法1：，记，则。

当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；

所以，

当时，单调递减，而，则在内无零点；

当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；

从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。

解法2：，记，则。

当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，

综上所述，有且只有两个零点。

（2）记的正零点为，即。

（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；

②假设当时，有成立，则当时，由

知，，因此，当时，成立。

故对任意的，成立。

（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；

②假设当时，有成立，则当时，由

知，，因此，当时，成立。

故对任意的，成立。

综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.