Question

（12分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°

（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．

（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）V==

（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（I）要求四面体ABCD的体积，必须确定它的高和底面，由已知，△ABC作为底面，高易作，根据线段的长度，即可求得四面体ABCD的体积；

（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根据该角为60°，找到各边之间的关系，利用平移的方法找出异面直线AD与BC所成角，解三角形，即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值．

【解析】
（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，

所以DF⊥AC．

故由平面ABC⊥平面ACD，

知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，

AF=ADcos30°=，

在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，

由勾股定理易知BC=，AB=．

故四面体ABCD的体积V==．

（II）设G，H分别为边CD，BC的中点，则FG∥AD，GH∥BC，

从而∠FGH是异面直线AD与BC所成角或其补角．

设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，

又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，

所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，由题设知∠DEF=60°．

设AD=a，则DF=AD•SsinCAD=，

在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，

取BD的中点M，连EM，FM，由中位线定理得，∠MEF为异面直线AD，BC所成的角，

EM=FM=，由余弦定理得cosMEF===．