Question

（12分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．

（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．

问：是否存在两个定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值．若存在，求F₁，F₂的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a和c，则b可得，则椭圆的方程可得．

（Ⅱ）设出P，M，N的坐标，根据题设等式建立等式，把M，N代入椭圆方程，整理求得x2+2y220+4（x1x2+2y1y2），设出直线OM，ON的斜率，利用题意可求得x1x2+2y1y2=0，进而求得x2+2y2的值，利用椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值求得c，则两焦点坐标可得．

【解析】
（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=

∴b==

∴椭圆的方程为：

（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），

则由，得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），

即x=x1+2x2，y=y1+2y2，

∵点M，N在椭圆上，所以

，

故x2+2y2=（x12+4x22+4x1x2）+2（y12+4y22+4y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）

设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=﹣

∴x1x2+2y1y2=0

∴x2+2y2=20

所以P在椭圆上；

设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，由椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值，因为c=，则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）