Question

（12分）（2011•重庆）设实数数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a_n+1S_n（n∈N^*）．

（Ⅰ）若a₁，S₂，﹣2a₂成等比数列，求S₂和a₃．

（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a_k≤．

Answer

（Ⅰ）S2=﹣2 （Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2=﹣2，由此能求出S2和a3．

（Ⅱ）由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn，Sn≠1，an+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤an﹣1≤．

【解析】
（Ⅰ）由题意，

得S22=﹣2S2，

由S2是等比中项知S2≠0，

∴S2=﹣2．

由S2+a3=a3S2，解得．

（Ⅱ）证明：因为Sn+1=a1+a2+a3+…+an+an+1=an+1+Sn，

由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn，

∴Sn≠1，an+1≠1，且，

从而对k≥3 有ak===①

因，且，

要证，由①，只要证

即证，即，

此式明显成立，因此．