Question

如图，在△ABC中，∠ABC=，∠BAC，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC．

（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（2）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．

Answer

（1）见解析 （2）

【解析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．

（1）∵折起前AD是BC边上的高，

∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，

又，∴AD⊥平面BDC，

∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．

（2）由∠BDC及（1）知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：

D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,,0)，

所以，，

∴

所以与夹角的余弦值是．