Question

如图，设Ｐ是圆上的动点，点Ｄ是Ｐ在轴上投影，Ｍ为PD上一点，且．

（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．

Answer

（1） （2）

【解析】（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．

（1）设点M的坐标是，P的坐标是，

因为点Ｄ是Ｐ在轴上投影，

Ｍ为PD上一点，且，所以，且，

∵P在圆上，∴，整理得，

即C的方程是．

（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，

设此直线与C的交点为，，

将直线方程代入C的方程得：

，化简得，∴，，

所以线段AB的长度是

，即所截线段的长度是．