Question

设函数定义在上，，导函数，．

（1）求的单调区间和最小值；

（2）讨论与的大小关系；

（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）区间在是函数的减区间；区间在是函数的增区间；最小值是

（2）当时，=0，∴；

当时，=0，∴．

（3）不存在，见解析

【解析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．

（1）∵，∴（为常数），又∵，所以，即，

∴；，

∴，令，即，解得，

当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；

当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；

所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，

所以的最小值是．

（2），设，

则，

当时，，即，

当时，，，

因此函数在内单调递减，

当时，=0，∴；

当时，=0，∴．

（3）满足条件的不存在．证明如下：

证法一 假设存在，使对任意成立，

即对任意有 ①

但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，

因此不存在，使对任意成立．

证法二 假设存在，使对任意成立，

由（1）知，的最小值是，

又，而时，的值域为，

∴当时，的值域为，

从而可以取一个值，使，即,

∴，这与假设矛盾．

∴不存在，使对任意成立．