Question

（2012•广东）设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．

（1）求a₁的值；

（2）求数列{a_n}的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有．

Answer

（1）1 （2）an=3n﹣2n （3）见解析

【解析】（1）在2Sn=an+1﹣2n+1+1中，

令n=1得：2S1=a2﹣22+1，

令n=2得：2S2=a3﹣23+1，

解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13

又2（a2+5）=a1+a3

解得a1=1

（2）由2Sn=an+1﹣2n+1+1，

得an+2=3an+1+2n+1，

又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，

所以an+1=3an+2n对n∈N*成立

∴an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，

∴an+2n=3n，

∴an=3n﹣2n；

（3）（法一）

∵an=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1

∴≤，

∴+++…+≤1+++…+=＜；

（法二）∵an+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2an，

∴＜•，，

当n≥2时，＜•，＜•，，

…＜•，

累乘得：＜•，

∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．