Question

（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x⁴﹣x³+ax+b≤（x²﹣1）²，则ab等于　_________　．

Answer

﹣1

【解析】验证发现，

当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，

当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0

令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0

又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x，

令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增

又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0

又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b的极小值点，也是最小值点

故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1

故ab=﹣1

故答案为﹣1