Question

（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．

（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；

（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．

Answer

（1）见解析 （2） （3）

【解析】（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．

∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．

而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．

（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，

∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．

由题意可得，GO=PA=．

△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，

∴AC=2，OC=．

∵直角三角形COD中，OD==2，

∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．

（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC==．

由△COG∽△PCA，可得，即 ，解得GC=，

∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．