Question

（2013•湖北）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A₁处发现矿藏，再继续下钻到A₂处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A₁A₂=d₁．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B₁B₂=d₂，C₁C₂=d₃，且d₁＜d₂＜d₃．过AB，AC的中点M，N且与直线AA₂平行的平面截多面体A₁B₁C₁﹣A₂B₂C₂所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S_中．

（1）证明：中截面DEFG是梯形；

（2）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A₁B₁C₁﹣A₂B₂C₂的体积V）时，可用近似公式V_估=S_中﹣h来估算．已知V=（d₁+d₂+d₃）S，试判断V_估与V的大小关系，并加以证明．

Answer

（1）见解析 （2）见解析

【解析】（1）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，

所以A1A2∥B1B2∥C1C2，又A1A2=d1，B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．

因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形．

由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，

可得AA2∥ME，即A1A2∥DE．同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG．

又M，N分别为AB，AC的中点，

则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1 的中点，

即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线．

因此DE=，FG=，

而d1＜d2＜d3，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形；

（2）V估＜V．证明：

由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN．

而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．

由MN是△ABC的中位线，可得MN=BC=a，即为梯形DEFG的高，

因此，

即．又

S=ah，所以．

于是=．

由d1＜d20，d3﹣d1＞0，故V估＜V．