Question

（2013•湖北）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=．

（1）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．

（1）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f（）；

（2）a、b的几何平均数记为G．称为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．

Answer

（1）当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增；

当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递减．

（2）见解析

【解析】（1）函数的定义域为{x|x≠﹣1}，

∴当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增；

当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递减．

（2）（1）计算得f（1）=，f（）=，f（）=．

∵

∴f（1），f（），f（）成等比数列，

∵a＞0，b＞0，∴≤

∴f（）≤f（）；

（2）由（1）知f（）=，f（）=，

故由H≤f（x）≤G，得f（）≤f（x）≤f（）．

当a=b时，f（）=f（x）=f（）=f（1）=a，此时x的取值范围是（0，+∞），

当a＞b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤；

当a＜b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤．