Question

（2013•湖北）如图，已知椭圆C₁与C₂的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C₁，C₂的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S₁和S₂．

（1）当直线l与y轴重合时，若S₁=λS₂，求λ的值；

（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂？并说明理由．

Answer

【解析】以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

，．其中a＞m＞n＞0，

．

（1）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则

，

，

所以．

在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，

于是．

若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．

故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．

（2）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，

不妨设直线l：y=kx（k＞0），

点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则

，所以d1=d2．

又，所以，即|BD|=λ|AB|．

由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，

|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．

将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得

根据对称性可知xC=﹣xB，xD=﹣xA，于是

②

从而由①和②可得

③

令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．

因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，

等价于，由λ＞1，解得，

即，由λ＞1，解得，所以

当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；

当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．