Question

如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．

Answer

（1）

（2）见解析

【解析】（1）设椭圆方程为，

左焦点F1（﹣c，0），将横坐标﹣c代入椭圆方程，得y=，

所以①，②，a2=b2+c2③，联立①②③解得a=4，，

所以椭圆方程为：；

（2）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），

则圆Q的方程为：（x﹣t）2+y2=r2，

由得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0，

由△=0，即16t2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8，①

把x=m代入，得，

所以点P坐标为（m，），代入（x﹣t）2+y2=r2，得，②

由①②消掉r2得4t2﹣4mt+m2=0，即m=2t，

=×（m﹣t）==≤×=2，

当且仅当4﹣t2=t2即t=时取等号，

此时t+r=+＜4，椭圆上除P、P′外的点在圆Q外，

所以△PP'Q的面积S的最大值为，圆Q的标准方程为：．

当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为，△PP'Q的面积S的最大值仍为为．