Question

（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．

（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

Answer

（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5）

（2）见解析

【解析】（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200•πrh元，

底面积成本为160πr2元，

∴蓄水池的总建造成本为200•πrh+160πr2元

即200•πrh+160πr2=12000π

∴h=（300﹣4r2）

∴V（r）=πr2h=πr2•（300﹣4r2）=（300r﹣4r3）

又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5

故函数V（r）的定义域为（0，5）

（2）由（1）中V（r）=（300r﹣4r3），（0＜r＜5）

可得V′（r）=（300﹣12r2），（0＜r＜5）

∵令V′（r）=（300﹣12r2）=0，则r=5

∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数

当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数

且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大