Question

（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．

Answer

（1） （2）k=

【解析】（1）根据椭圆方程为．

∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，

∴=，

∵离心率为，∴=，

解得b=，c=1，a=．

∴椭圆的方程为；

（2）直线CD：y=k（x+1），

设C（x1，y1），D（x2，y2），

由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，

∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），

∴

=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1）

=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，

=6+=8，解得k=．