Question

（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=f_π（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q₁=f_β[f_α（P）]，Q₂=f_α[f_β（P）]，恒有PQ₁=PQ₂，则（　　）

A．平面α与平面β垂直

B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C．平面α与平面β平行

D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

Answer

A

【解析】设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足

∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），

∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足

同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足

因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足

∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，

∴点Q1与Q2重合于同一点

由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角

∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直

故选：A