Question

（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．

（1）证明：PQ∥平面BCD；

（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．

Answer

（1）见解析 （2）60°

【解析】（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ

∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD

∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点

∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD

∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形

∴PQ∥OF

∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；

（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH

∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG

又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线

∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM

∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线

∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH

因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°

设∠BDC=θ，可得

Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θ

Rt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG==

∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°