Question

（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=x³﹣3x²+3ax﹣3a+3．

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．

Answer

（1）y=（3a﹣3）x﹣3a+4

（2）|f（x）|max=．

【解析】（1）因为f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3，所以f′（x）=3x2﹣6x+3a，

故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a﹣3）x﹣3a+4；

（2）由于f′（x）=3（x﹣1）2+3（a﹣1），0≤x≤2．

故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故

|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a．

当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增，故

|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a﹣1．

当0＜a＜1时，由3（x﹣1）2+3（a﹣1）=0，得，．

所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

所以函数f（x）的极大值，极小值．

故f（x1）+f（x2）=2＞0，．

从而f（x1）＞|f（x2）|．

所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．

当0＜a＜时，f（0）＞|f（2）|．

又=

故．

当时，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．

又=．

所以当时，f（x1）＞|f（2）|．

故．

当时，f（x1）≤|f（2）|．

故f（x）max=|f（2）|=3a﹣1．

综上所述|f（x）|max=．