Question

（2013•湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer

D

【解析】∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）

令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点

⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．

．

①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．

②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，

∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．

∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，

∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．

∵，f′（x1）=lnx1+1﹣2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1﹣2ax2=0．

且f（x1）=x1（lnx1﹣ax1）=x1（2ax1﹣1﹣ax1）=x1（ax1﹣1）＜x1（﹣ax1）=＜0，

f（x2）=x2（lnx2﹣ax2）=x2（ax2﹣1）＞=﹣．（）．

故选D．