Question

（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．

（1）求函数f（x）=（1+x）^r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；

（2）证明：；

（3）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．

（参考数据：．

Answer

（1）0 （2）见解析 （3）211

【解析】（1）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）r﹣1]，

令f'（x）=0，解得x=0．

当﹣1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内是减函数；

当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．

故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．

（2）由（1），当x∈（﹣1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，

即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，

故当x＞﹣1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①

在①中，令（这时x＞﹣1且x≠0），得．

上式两边同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），

即，②

当n＞1时，在①中令（这时x＞﹣1且x≠0），

类似可得，③

且当n=1时，③也成立．

综合②，③得，④

（3）在④中，令，n分别取值81，82，83，…，125，

得，，，…，

将以上各式相加，并整理得．

代入数据计算，可得

由[S]的定义，得[S]=211．