Question

（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）²+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．

（1）确定a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer

（1） （2）见解析

【解析】（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），

令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），

由切线与y轴相交于点（0，6）．

∴6﹣16a=8a﹣6，

∴a=．

（2）由（1）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），

f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，

当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，

当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，

故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．