Question

（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．

Answer

（1） （2）

【解析】（1）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①

∵离心率，∴②

联立①②得：，所以b2=8．

把b2=8代入②得，a2=16．

∴椭圆的标准方程为；

（2）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，

不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．

联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．

由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8

又P（）在椭圆上，所以．

整理得，．

代入t2+r2=8，得．

解得：．所以，．

此时．

满足椭圆上的其余点均在圆Q外．

由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．

故所求椭圆方程为．