Question

（满分16分）

设数列的前项和为.若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.

（1）若数列的前项和为，证明：是“数列”.

（2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；

（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列” 和，使得成立.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．

【解析】（1）首先，当时，，所以，所以对任意的，是数列中的项，因此数列是“数列”．

（2）由题意，，数列是“数列”，则存在，使，，由于，又，则对一切正整数都成立，所以．

（3）首先，若（是常数），则数列前项和为是数列中的第项，因此是“数列”，对任意的等差数列，（是公差），设，，则，而数列，都是“数列”，证毕．

【考点】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法．