[选修4-1：几何证明选讲]
如图，
是圆
的直径，
是圆上位于异侧的两点，证明
（满分16分）
设数列
的前
项和为
.若对任意的正整数
，总存在正整数
，使得
，则称是“
数列”.
（1）若数列的前项和为
，证明：是“数列”.
（2）设
是等差数列，其首项
，公差
，若是“数列”，求
的值；
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列” 
和
，使得
成立.
（满分16分）已知函数
，其中
是自然对数的底数.
（1）证明：
是
上的偶函数；
（2）若关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
（3）已知正数
满足：存在
，使得
成立，试比较
与
的大小，并证明你的结论.
（满分16分）如图：为保护河上古桥
，规划建一座新桥
，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥
与河岸
垂直；保护区的边界为圆心
在线段上并与相切的圆，且古桥两端
和
到该圆上任一点的距离均不少于80
，经测量，点
位于点
正北方向60
处，点
位于点正东方向170处，（
为河岸），
.
（1）求新桥的长；
（2）当
多长时，圆形保护区的面积最大？
（满分14分）如图在平面直角坐标系
中，
分别是椭圆
的左右焦点，顶点
的坐标是
，连接
并延长交椭圆于点
，过点作
轴的垂线交椭圆于另一点
，连接
.
（1）若点的坐标为
，且
，求椭圆的方程；
（2）若
，求椭圆离心率
的值.
（满分14分）如图在三棱锥
中，
分别为棱
的中点，已知
，
求证（1）直线
平面
；
（2）平面
平面
.
