Question

（10分）已知函数，设为的导数，

（1）求的值；

（2）证明：对任意，等式都成立.

Answer

(1)；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）本题首先考查复合函数的求导，如；

（2）要找到式子的规律，当然主要是找式子的规律，为了达到此目标，我们让看看有什么特点，由（1），对这个式子两边求导可得，再求导，由引可归纳出，从上面过程还可看出应该用数学归纳法证明这个结论.

试题解析：（1）由已知，

，

所以，，

故.

（2）由（1）得，

两边求导可得，

类似可得，

下面我们用数学归纳法证明对一切都成立，

（1）时命题已经成立，

（2）假设时，命题成立，即，

对此式两边求导可得，

即，因此时命题也成立.

综合（1）（2）等式对一切都成立.

令，得，

所以.

【考点】复合函数的导数，数学归纳法.