Question

（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.

⑴ 求证：点被直线分隔；

⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；

⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求的方程，并证明轴为曲线的分割线.

Answer

(1)证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：本题属于新定义问题，（1）我们只要利用题设定义求出的值，若，则结论就可得证；（2）直线是曲线的分隔线，首先直线与曲线无交点，即直线方程与曲线方程联立方程组，方程组应无实解，方程组变形为，此方程就无实解，注意分类讨论，按二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线的两侧．则可得到所求范围；（3）可直接设动点坐标为，代入已知条件即可求出轨迹的方程为，化简为，轴的方程为，它显然与曲线无交点，又曲线上两点一定在直线两侧，故它是分隔线，结论得证．

试题解析：（1）由题得，，∴被直线分隔.

（2）由题得，直线与曲线无交点

即无解

∴或，∴.

又对任意的，点和在曲线上，满足，被直线分隔，所以所求的范围是．

（3）由题得，设，∴，

化简得，点的轨迹方程为

当过原点的直线斜率不存在时，其方程为.

因为对任意的，点不是方程的解，所以直线与曲线没有交点，又曲线上的两点对于直线满足，即点被直线分隔．所以直线轴是分隔线．

【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.