Question

已知函数.

（1）求在区间上的最大值；

（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；

（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）

Answer

【解析】试题分析：（1）求导数，导数等于0求出，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；（2）设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果;(3)由（2）容易得出结果.

(1)由得，令，得或，

因为，，，，

所以在区间上的最大值为.

（2）设过点P（1，t）的直线与曲线相切于点，则

，且切线斜率为，所以切线方程为，

因此，整理得：，

设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”， =，

与的情况如下：

0

1

+

0

0

+

t+3

所以，是的极大值，是的极小值，

当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以

至多有2个零点，

当，时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以

至多有2个零点.

当且，即时，因为，，

所以分别为区间和上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.

综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是.

（3）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切；

过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切；

过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切.

考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.