Question

已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.

Answer

(1) ；（2）

【解析】

试题分析：（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积. 因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.

再结合韦达定理即可得的值.

试题解析：（1）由已知得：，，所以

又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.

（2）椭圆方程化为.

设T点的坐标为，则直线TF的斜率.

当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是

当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.

将代入椭圆方程得：.

其判别式.

设，

则.

因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.

所以，解得.

此时四边形OPTQ的面积

.

【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.