Question

已知函数，其中，为自然对数的底数。

（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；

（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，证明：.

Answer

（Ⅰ）当时， ；当时， ；

当时， .（Ⅱ）的范围为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到.联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）

①当时，，所以.

②当时，由得.

若，则；若，则.

所以当时，在上单调递增，所以.

当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.

当时，在上单调递减，所以.

（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，

在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.

则不可能恒为正，也不可能恒为负.

故在区间内存在零点.

同理在区间内存在零点.

所以在区间内至少有两个零点.

由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.

当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.

所以.

此时，在上单调递减，在上单调递增，

因此，必有

.

由得：，有

.

解得.

所以，函数在区间内有零点时，.

【考点定位】导数的应用及函数的零点.考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想，并考查思维的严谨性.