Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC₁=2.

(1)证明：AC₁⊥A₁B;

(2)设直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离为，求二面角A₁-AB-C的大小.

Answer

（1）证明详见解析；（2）arctan.

【解析】

试题分析：（1）利用AC1⊥平面ABC,可得平面AA1C1C⊥平面ABC,在利用平面与平面垂直的性质和已知条件可得BC⊥平面AA1C1C，而AC1⊥A1C,所以AC1⊥A1B.

（2）作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,而直线A A1∥平面BCC1B1，A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离，则A1D=A1E=,然后证明∠A1FD为二面角A1-AB­-C的平面角,求出tan∠A1FD=即可.

试题解析：

解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC, A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.

(2) BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,

作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,又直线A A1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离，A1E=，因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D=A1E=,

作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB­-C的平面角，由AD=,得D为AC的中点，DF=,tan∠A1FD=,所以二面角A1-AB­-C的大小为arctan.

解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内.

（1）设A1（a，0，c），由题设有a≤2，A（2,0,0）B（0,1,0），则(-2，1，0),

，，由得，即，于是①,所以.

（2）设平面BCC1B1的法向量，则，,即，因，故y=0，且（a-2）x-cz=0，令x=c，则z=2-a，，点A到平面BCC1B1的距离为，又依题设，点A到平面BCC1B1的距离为，所以c= .代入①得a=3（舍去）或a=1.于是，

设平面ABA1的法向量，则,即.且-2p+q=0，令p=，则q=2，r=1，，又为平面ABC的法向量，故cos，所以二面角A1-AB­-C的大小为arccos，

考点：1.直线与平面垂直的判断和性质；2.二面角的求法；3.平面与平面垂直的判断和性质.