Question

已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.

Answer

（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.

【解析】

试题分析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x0=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可

（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2), M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.

试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x0=，

所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.

所以C的方程为.

（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得

，

设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，

故AB的中点为D（2m2+1,2m），，

有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得

.

设M(x3,y3),N(x4,y4),则.

故MN的中点为E（）.

由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得

m2-1=0，解得m=1或m=－1，

所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

考点：1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.