Question

已知函数

（1）求的单调区间和极值；

（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围

Answer

(1) 的单调增区间是，单调减区间是和，当 时， 取极小值 ，当 时， 取极大值 ， (2)

【解析】

试题分析：(1)求函数单调区间及极值，先明确定义域：R，再求导数在定义域下求导函数的零点：或，通过列表分析，根据导函数符号变化规律，确定单调区间及极值，即的单调增区间是，单调减区间是和，当 时， 取极小值 ，当 时， 取极大值 ， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的，都存在，使得”等价于两个函数值域的包含关系.设集合，集合则，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向.由于，所以,因此，又，所以，即

解(1)由已知有令，解得或，列表如下：

所以的单调增区间是，单调减区间是和，当 时， 取极小值 ，当 时， 取极大值 ，(2)由及（1）知，当时，，当时，设集合，集合则“对于任意的，都存在，使得”等价于.显然.

下面分三种情况讨论：

当即时，由可知而，所以A不是B的子集

当即时，有且此时在上单调递减，故，因而由有在上的取值范围包含，所以

当即时，有且此时在上单调递减，故,,所以A不是B的子集

综上，的取值范围为

考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域