Question

（本题满分13分)

设函数

若，求曲线处的切线方程；

讨论函数的单调性.

Answer

（1）.

（2）当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减；

当时，在，上单调递减，

在上单调递增.

【解析】

试题分析：（1）由题意知时，，求切线的斜率，即，又，由直线方程的点斜式进一步整理，得到切线方程为.

（2）函数的定义域为，

，根据的不同情况，讨论导函数值的正负，以确定函数的单调性.其中时，情况较为单一，，函数在上单调递增，

当时，令，

由于，再分，，等情况加以讨论.

试题解析：（1）由题意知时，，

此时，

可得，又，

所以曲线在处的切线方程为.

（2）函数的定义域为，

，

当时，，函数在上单调递增，

当时，令，

由于，

当时，，

，函数在上单调递减，

当时，，

，函数在上单调递减，

当时，，

设是函数的两个零点，

则，，

由 ，

所以时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减，

综上可知，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减；

当时，在，上单调递减，

在上单调递增.

考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性，分类讨论思想.