Question

（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点）.点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点.

（i）设直线的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；

（ii）求面积的最大值.

Answer

（1）.（2）（ⅰ）存在常数使得结论成立.（ⅱ）.

【解析】

试题分析：（1）首先由题意得到，即.

将代入可得，

由，可得.得解.

（2）（ⅰ）注意从确定的表达式入手，探求使成立的.

设，则，

得到，

根据直线BD的方程为，

令，得，即.得到.

由，作出结论.

（ⅱ）直线BD的方程，

从确定的面积表达式入手，应用基本不等式得解.

试题解析：（1）由题意知，可得.

椭圆C的方程可化简为.

将代入可得，

因此，可得.

因此，

所以椭圆C的方程为.

（2）（ⅰ）设，则，

因为直线AB的斜率，

又，所以直线AD的斜率，

设直线AD的方程为，

由题意知，

由，可得.

所以，

因此，

由题意知，

所以，

所以直线BD的方程为，

令，得，即.

可得.

所以，即.

因此存在常数使得结论成立.

（ⅱ）直线BD的方程，

令，得，即，

由（ⅰ）知，

可得的面积，

因为，当且仅当时等号成立，

此时S取得最大值，

所以的面积的最大值为.

考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，基本不等式的应用.