Question

设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，.

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切正整数，有.

Answer

（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）将代入方程得到，结合题中条件（数列的各项均为正数，得到）求出的值，从而得到的值；（2）由十字相乘法结合得到的表达式，然后在的情况下，由求出数列的表达式，并验证是否满足该表达式，从而得到数列的通项公式；（3）解法一是利用放缩法得到

，于是得到，最后利用裂项求和法证明题中的不等式；解法二是保持不放缩，在的条件下放缩为

，最后在和时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式.

（1）令得：，即，，

，，即；

（2）由，得，

，，从而，，

所以当时，，

又，；

（3）解法一：当时，，

.

证法二：当时，成立，

当时，，

则

.

考点：本题以二次方程的形式以及与的关系考查数列通项的求解，以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中等偏难题.