Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，试讨论是否存在，使得.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求出导数为二次函数，对和进行分类讨论，根据导数的正负求出函数的单调区间；（2）由作差法将等式进行因式分解，得到

，于是将问题转化为方程在上有解，并求出该方程的两根，并判定其中一根在区间上，并由

以及确定满足条件时的取值范围，然后取相应的补集作为满足条件时的取值范围.

（1），方程的判别式为，

①当时，，则，此时在上是增函数；

②当时，方程的两根分别为，，

解不等式，解得或，

解不等式，解得，

此时，函数的单调递增区间为和，

单调递减区间为；

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，

当时，函数的单调递增区间为和，

单调递减区间为；

（2）

，

若存在，使得，

必须在上有解，

，，

方程的两根为，，

，，

依题意，，即，

，即，

又由得，

故欲使满足题意的存在，则，

所以，当时，存在唯一满足，

当时，不存在满足.

考点：本题以三次函数为考查形式，考查利用导数求函数的单调区间，从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题，并考查了利用作差法求解不等式的问题，综合性强，属于难题.