Question

如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.

（1）证明：

（2）若,求三棱柱的高.

Answer

（1）详见解析;（2）三棱柱的高为.

【解析】

试题分析：（1）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连结，则O为与的交点，又因为侧面为菱形，对角线相互垂直;又平面，所以，根据线面垂直的判定定理可得：平面ABO，结合线面垂直的性质：由于平面ABO，故;（2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O到平面ABC的距离，即：作，垂足为D，连结AD，作，垂足为H，则由线面垂直的判定定理可得平面ABC，再根据三角形面积相等：，可求出的长度，最后由三棱柱的高为此距离的两倍即可确定出高．

试题解析：（1）连结，则O为与的交点.

因为侧面为菱形，所以.

又平面，所以，

故平面ABO.

由于平面ABO，故.

（2）作，垂足为D，连结AD，作，垂足为H.

由于，，故平面AOD，所以，

又，所以平面ABC.

因为，所以为等边三角形，又，可得.

由于，所以,

由，且，得，

又O为的中点，所以点到平面ABC的距离为.

故三棱柱的高为.

考点：1.线线，线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用