Question

已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.

(1)求的轨迹方程；

(2)当时，求的方程及的面积

Answer

（1）;（2）的方程为; 的面积为.

【解析】

试题分析：（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，根据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：，运用向量数量积运算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.

试题解析：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，

设，则，，

由题设知，故，即.

由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.

（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.

由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.

因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.

又，O到的距离为，，所以的面积为.

考点：1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系