Question

如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.

（I）证明：；

（II）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.

Answer

（1）详见解析;（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据题意可知A，B，C，D四点共圆，利用对角互补的四边形有外接圆这个结论可得：，由已知得，故;（2）不妨设出BC的中点为N，连结MN，则由，由等腰三角形三线合一可得：，故O在直线MN上，又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，故，即，所以，故，又，故，由（1）知，，所以为等边三角形.

试题解析：（1）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以，

由已知得，故.

（2）设BC的中点为N，连结MN，则由知，

故O在直线MN上.

又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，故，

即.

所以，故，

又，故.

由（1）知，，所以为等边三角形.

考点：1.圆的几何性质;2.等腰三角形的性质