Question

（本小题满分12分）

如图，三棱柱中，.

（1）求证：；

（2）若，问为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值。

Answer

（1）详见解析，（2）时，体积取到最大值

【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定及性质定理进行多次转化证明. 由知,又,故平面即,又，所以（2）研究三棱柱体积，关键明确底面上的高，本题由（1）知：平面因此将三棱柱体积转化为等高同底的三棱锥体积（三倍关系），而三棱锥体积又等于三棱锥体积，三棱锥体积等于，设不难计算三棱柱的体积为，故当时，即时，体积取到最大值

试题解析：

（1）证明：由知,又,故平面即,又，所以（2）设在中同理在中, ，所以从而三棱柱的体积为因故当时，即时，体积取到最大值

考点：线面垂直判定与性质定理，三棱柱的体积