Question

已知函数，若在上的最小值记为.

（1）求；

（2）证明：当时，恒有.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）因为，对实数分类讨论，①，②，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的值，再用分段函数表示；（2）构造函数，对实数分类讨论，①，②，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的最大值，即可证明当时恒有成立.

（1）因为，

①当时，

若，则，，故在上是减函数；

若，则，，故在上是增函数；

所以，.

②当，则，，，故在上是减函数，

所以，

综上所述，.

（2）令，

①当时，，

若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以，

故.

若，，则，所以在上是减函数，

所以在上的最大值是，

令，则，

所以在上是增函数，所以即，

故，

②当时，，所以，得，

此时在上是减函数，因此在上的最大值是，

故，

综上所述，当时恒有.

考点：函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性.